若函数f(x)在区间[0,a]上可导，且f(a)=0，证明在区间(0,a)内至少有一点ξ，使f(ξ)+ξf′(ξ)=0

构造新函数g(x)=xf(x)
因为g(0)=g(a)=0
所以必定存在x
使得g'(x)=0

构造新函数g(x)=xf(x) g'(x)=f(x)+x*f'(x)
g(a)=a*f(a)=0
g(0)=0
显然g在区间（0，a）连续，并且可导
g（a）=g（0）
由罗尔中值定理知
区间(0,a)内至少有一点ξ，使g'(ξ)=0
g'(ξ)=f(ξ)+ξf′(ξ)=0

令F(x)=xf(x),则由条件知道F(x)在[0,a]上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理的结论知道，在区间(0,a)内至少有一点ξ，使得F'(ξ)=0,即f(ξ)+ξf′(ξ)=0